Δευτέρα, 26 Δεκεμβρίου 2011

Ιστολόγια Μαθηματικών


Από το μενού της σελίδας μπορείτε να μεταβείτε στην σελίδα "ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ" όπου θα βρείτε μια πληθώρα σελίδων σχετικές  με τα μαθηματικά.

Αν θέλετε να προστεθεί και η δικιά σας σελίδα - blog μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μου από την φόρμα επικοινωνίας πατώντας εδώ.





Πέμπτη, 15 Δεκεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία 4


Άσκηση.
Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετραγώνου $s$ ισούται με $s=\dfrac{b\cdot h}{b+h}$.

Δευτέρα, 12 Δεκεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία 3 (Ptolemy's Theorem)

 Άσκηση.
Έστω ένα επτάγωνο με πλευρά $s$, όπως το παραπάνω σχήμα. Να αποδείξετε την σχέση: $$\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$$

Πέμπτη, 24 Νοεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία 2


Άσκηση.
Να αποδείξετε ότι η κίτρινη περιοχή έχει το ίδιο εμβαδόν με την μπλε περιοχή.

gogeometry.com

Παρασκευή, 4 Νοεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία (GeoGebra)




Άσκηση.
Έστω ABC ένα τυχαίο τρίγωνο και D ένα σημείο στην πλευρά AC. Οι κύκλοι που φαίνονται στο σχήμα είναι εγγεγραμένοι στα αντίστοιχα τρίγωνα. Να δείξετε ότι KL=HD.

Πατήστε εδώ για να επεξεργαστείτε το σχήμα με το πρόγραμμα GeoGebra.

gogeometry.com

Λύση.
Θυμίζουμε το παρακάτω θεώρημα σχετικά με τις εφαπτομένες ενός κύκλου από εξωτερικό του σημείο.

Κυριακή, 23 Οκτωβρίου 2011

Εισαγωγή GeoGebra Εφαρμογών σε Blogspot

Όπως θα έχετε δει πολλές από τις αναρτήσεις μου περιέχουν εφαρμογές που έχουν δημιουργηθεί σε Geogebra. Εδώ θα βρείτε όλες αυτές τις αναρτήσεις. Σε αυτήν την ανάρτηση θα δούμε πως μπορούμε να εισάγουμε τέτοιες εφαρμογές σε Blogspot. Φαντάζομαι ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να γίνει αυτό. Ας δούμε την μέθοδο που χρησιμοποιώ εγω.

Τετάρτη, 21 Σεπτεμβρίου 2011

Άσκηση στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Διανύσματα) (GeoGebra)


Στο σχήμα το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο με $(ΑΒ)=2(\Gamma\Delta)$, το $KA\Lambda B$ παραλληλόγραμμο και το $I$ μέσο του $\Gamma\Delta$. Να αποδείξετε ότι:

  1. $\overrightarrow{K\Gamma}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA}$ και $\overrightarrow{K\Delta}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB}$
  2. τα σημεία $I,K,\Lambda$ είναι συνευθειακά.

Παρασκευή, 16 Σεπτεμβρίου 2011

Φυλλάδιο Ασκήσεων στους Χαρακτήρες Διαιρετότητας - Α Γυμνασίου


Φυλλάδιο Ασκήσεων για την Α Γυμνασίου.
Φυσικοί Αριθμοί - Χαρακτήρες Διαιρετότητας - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο - Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Τετάρτη, 14 Σεπτεμβρίου 2011

Φυλλάδιο Ασκήσεων στην Επιμεριστική Ιδιότητα - Α Γυμνασίου



Φυλλάδιο Ασκήσεων για την Α Γυμνασίου.
Φυσικοί Αριθμοί - Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού - Επιμεριστική Ιδιότητα



Τρίτη, 19 Ιουλίου 2011

Proofs Without Words - Αποδείξεις χωρίς λόγια


Proofs Without Words, Αποδείξεις χωρίς λόγια.


Παρασκευή, 1 Ιουλίου 2011

Εφαπτομένη Συνάρτησης (GeoGebra)



Μια GeoGebra εφαρμογή που απεικονίζει την εφαπτομένη μιας συνάρτησης.

Η εφαπτομένη της συνάρτησης $f$ στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της είναι η $$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$


Τρίτη, 21 Ιουνίου 2011

Πως να γράψετε $\LaTeX$ σε blogspot



Σε αυτήν την ανάρτηση θα δούμε πως εμφανίζονται τα μαθηματικά σύμβολα στο blog.

Ύστερα από κάποιες αποτυχημένες προσπάθειες κατέληξα σε αυτήν που εξηγώ παρακάτω, γιατί δεν μου έχει δημιουργήσει ακόμα κανένα πρόβλημα.


Κυριακή, 12 Ιουνίου 2011

Τριχοτόμηση Γωνίας και η Τετραγωνίζουσα (GeoGebra)


Στην παρακάτω εφαρμογή τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΟΒ κινούνται με σταθερή ταχύτητα, ξεκινάνε την ίδια στιγμή και ταυτίζονται την ίδια στιγμή με το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ. Η κόκκινη καμπύλη αποτελείται από όλα τα κοινά σημεία των ΓΔ και ΟΒ και ονομάζεται τετραγωνίζουσα.


Τρίτη, 7 Ιουνίου 2011

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις - Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011




Τα θέματα από τις επαναληπτικές πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά κατεύθυνσης. (06 Ιουνίου 2011)


Σάββατο, 4 Ιουνίου 2011

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις - Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2011


Τα θέματα από τις επαναληπτικές πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής. (04 Ιουνίου 2011)


Παρασκευή, 3 Ιουνίου 2011

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011 - Λύσεις Θεμάτων




Λύσεις των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων στα μαθηματικά γενικής παιδείας.

Πατήστε εδώ για να δείτε τα θέματα.




Πέμπτη, 2 Ιουνίου 2011

Ταυτότητα του Cassini



Ακολουθία Fibonacci:
$F_0=0$
$F_1=1$
$F_{\nu}=F_{\nu-1}+F_{\nu-2}$




Κυριακή, 29 Μαΐου 2011

Μαθηματικά Κατεύθυνσης - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011 - Λύσεις Θεμάτων



Λύσεις των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων στα μαθηματικά κατεύθυνσης.

Πατήστε εδώ για να δείτε τα θέματα.


Σάββατο, 21 Μαΐου 2011

Πυθαγόρειο Θεώρημα Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Geogebra)


Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Τετάρτη, 18 Μαΐου 2011

Άσκηση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Άσκηση
Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $\Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $A\Gamma$ (όπως το σχήμα).
  1. Να υπολογίσετε την γωνία $\hat{\Gamma A B'}$.
  2. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου.

Δευτέρα, 16 Μαΐου 2011

Μαθηματικά Κατεύθυνσης - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011



Πατήστε το παρακάτω πλαίσιο για να δείτε τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης (2011)


Σάββατο, 14 Μαΐου 2011

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011



Πατήστε το παρακάτω πλαίσιο για να δείτε τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων στο μάθημα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (2011)

Λύσεις στα Επαναληπτικά Θέματα της Β Γυμνασίου (Άλγεβρα)

Σε αυτήν την ανάρτηση υπάρχουν οι λύσεις από τις εφτά πρώτες ασκήσεις της προηγούμενης ανάρτησης "Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου".



Σάββατο, 7 Μαΐου 2011

Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου.




Επαναληπτικά θέματα για την τάξη της Β Γυμνασίου.

Πέμπτη, 5 Μαΐου 2011

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί


Μία εφαρμογή Geogebra που υπολογίζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τυχαίας γωνίας.


Παρασκευή, 29 Απριλίου 2011

Μετατόπιση Πλευρών Τριγώνου



Μια εφαρμογή GeoGebra που μετατοπίζει τις πλευρές του τριγώνου κατά σταθερή απόσταση.







Nine-point circle (GeoGebra)



Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ένας κύκλος που μπορεί να κατασκευαστεί για κάθε τρίγωνο. Ονομάζεται έτσι διότι διέρχεται από εννέα σηγκεκριμένα σημεία που εξαρτόνται από το τρίγωνο. 
Τα σημεία αυτά είναι:
  • Τα μέσα των πλευρών.
  • Τα σημεία τομής των υψών και των αντίστοιχων πλευρών.
  • Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων μεταξύ των ακμών του τριγώνου και του ορθόκεντρου (σημείο τομής των υψών).

Δευτέρα, 25 Απριλίου 2011

Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Nicomachus's theorem)



Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε την παρακάτω σχέση:
$$\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2=\sum_{n=1}^k n^3$$


Κυριακή, 24 Απριλίου 2011

Κυκλοειδές (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα δίσκο ακτίνας 1 ο οποίος περιστρέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Η καμπύλη που δημιουργείτε έχει την παρακάτω παραμέτρηση:
$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t))$

Παρασκευή, 22 Απριλίου 2011

Τι Τροχιά Έχει ; (GeoGebra)


Θεωρούμε ένα κύκλο και ένα εγγεγραμμένο στον κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επίσης θεωρούμε την ημιευθεία από το κέντρο του κύκλου προς την μία ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν μετακινήσουμε την ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ποια θα είναι η τροχιά του σημείου που βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία και έχει απόσταση από το κέντρο του κύκλου ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου; (βλ. σχήμα)


Τρίτη, 19 Απριλίου 2011

Πυθαγόρειες Τριάδες

Δημοσιεύω δύο πολύ ωραίες σελίδες σχετικά με τις πυθαγόρειες τριάδες.

Οι τριάδες των φυσικών αριθμών $x, y, z$  που συνδέονται με την σχέση $x^2 + y^2 = z^2$ λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».
  • Υπάρχει τρόπος να βρούμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες;

Μαγικά Τετράγωνα και Σκάκι



Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το $n^2$ και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.
  • Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
  • Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
  • Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;

Δευτέρα, 18 Απριλίου 2011

Κατασκευή Γωνιών 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών



Με αφορμή την ανάρτηση "κατασκευή γωνίας 30 μοιρών" στο blog Διασκεδαστικά Μαθηματικά θα δούμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη γωνίες 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών. Επίσης θα δούμε πως μπορούμε να διχοτομήσουμε μία γωνία.

Κυριακή, 17 Απριλίου 2011

Τριγωνικοί Αριθμοί



Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός $T_n$ είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων.
$T_n=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
π.χ. $T_5=1+2+3+4+5=15$. 
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα όπως το σχήμα, όπου βλέπουμε τον $T_4$. Δηλαδή ο $T_n$ είναι το πλήθος των κουκίδων σε ένα τριγωνικό σχέδιο όπως το διπλανό, με n κουκκίδες στην βάση του, n-1 στην επόμενη γραμμή, n-2 στην επόμενη κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή όπου θα υπάρχει μόνο μία κουκκίδα.

Παρασκευή, 15 Απριλίου 2011

Γρίφος - Λογική 2

Τέσσερις άνθρωποι θέλουν να διασχίσουν μια γέφυρα: αρχικά όλοι βρίσκονται στην ίδια πλευρά της. Υπάρχει ένα όριο 17 λεπτών, μετά το οποίο όλοι θα πρέπει να βρίσκονται στην άλλη άκρη της γέφυρας (πρέπει να προλάβουν το τρένο). Είναι νύχτα και διαθέτουν ένα μόνο φακό. Το πολύ δύο άτομα μπορούν να διασχίσουν ταυτόχρονα τη γέφυρα, σε κάθε χρονική στιγμή. Όποια ομάδα διασχίζει τη γέφυρα, είτε του ενός είτε των δύο ατόμων, θα πρέπει να έχει αυτό το φακό. Ο φακός μεταφέρεται από χέρι σε χέρι (δεν μπορεί να πεταχτεί από κάποιον σε κάποιον άλλον).

Ο άνθρωπος 1 χρειάζεται ένα λεπτό για να διασχίσει τη γέφυρα, ο 2 χρειάζεται δύο λεπτά, ο 3 πέντε λεπτά και ο 4 θέλει δέκα λεπτά. Δύο άνθρωποι μαζί κινούνται με την ταχύτητα του πιο αργού από τους δύο (για παράδειγμα αν ξεκινήσουν μαζί ο 1 με τον 4 θα χρειαστούν δέκα λεπτά για να περάσουν τη γέφυρα).

Υπάρχει λύση σε αυτό το πρόβλημα και ποια είναι αυτή;

Εμφάνιση Λύσης

Άσκηση στον Όγκο Πρίσματος

Άσκηση. Έστω $V_1$ ο όγκος μίας τετραγωνικής πυραμίδας και $V_2$ ο όγκος μίας τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρο). Ποιά είναι η σχέση μεταξύ των $V_1$ και $V_2$ αν οι ακμές και των δύο πυραμίδων είναι ίσες με 1 cm;


Πέμπτη, 14 Απριλίου 2011

Ιστορία των Αριθμών (video)

Το video εξηγεί με ποιο τρόπο κάποιοι λαοί χρησιμοποιούσαν την γλώσσα των μαθηματικών. Ο τίτλος του είναι "Ιστορία των μαθηματικών" αν και θα έπρεπε να είναι "Ιστορία των αριθμών".

Δεν υπάρχει καμία αναφορά στα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι Έλληνες.






Τυπολόγιο για την Ύλη της Γ Γυμνασίου

Τυπολόγιο για την ύλη των Μαθηματικών της Γ γυμνασίου.



Επαναληπτικά θέματα - Γ' γυμνασίου.

Επαναληπτικά θέματα για τα Μαθηματικά της Γ' γυμνασίου.


Πέμπτη, 7 Απριλίου 2011

Τυπολόγιο για την Ύλη της Β Γυμνασίου - Γεωμετρία

Το έγγραφο περιέχει όλους τους τύπους που θα πρέπει να θυμούνται οι μαθητές τις Β Γυμνασίου στη γεωμετρία.

  • Εμβαδά
  • Πυθαγόρειο Θεώρημα
  • Τριγωνομετρία
  • Κανονικά Πολύγωνα
  • Εμβαδά Επιφανειών
  • Όγκος Πρίσματος, Κυλίνδρου, Πυραμίδας και Σφαίρας



Τρίτη, 5 Απριλίου 2011

Υπολογισμός Ημέρας


Θα δούμε μία μέθοδο με την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τι μέρα θα έχουμε ή τι μέρα είχαμε κάποια συγκεκριμένη ημερομηνία.
Η Μέθοδος
Για να βρούμε την ημέρα κάποιας συγκεκριμένης ημερομηνίας χρησιμοποιούμε τον τύπο:
[ημέρα]=(κωδικόςχρόνου+κωδικόςμήνα+ημερομηνία)mod7

Πέμπτη, 31 Μαρτίου 2011

Πρόχειρες Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας

Σημειώσεις στην Διαφορική Γεωμετρία από το αντίστοιχο μάθημα του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου το εαρινό εξάμηνο 2005.

  • Καμπύλες
  • Επιφάνειες στον $\mathbb{R}^3$
Οι σημειώσεις είναι στοιχειοθετημένες με $\LaTeX$ και περιέχουν πολλά σχήματα (μαζί με τον κώδικα) σχεδιασμένα στο mathematica 5.2 και το dia-diagrams.

Τετάρτη, 30 Μαρτίου 2011

Τριχοτόμηση Γωνιών Τριγώνου - Morley's Miracle

Αν τριχοτομήσουμε τις γωνίες ενός οποιοδήποτε τριγώνου, τότε από τις τομές των διχοτόμων προκύπτει ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα είναι γνωστό ως το θαύμα του Morley (Morley's Miracle).

Θεώρημα Varignon

Αν ενώσουμε τα μέσα των πλευρών ενός οποιουδήποτε τετραπλεύρου, προκύπτει ένα παραλληλόγραμμο.

Πέμπτη, 24 Μαρτίου 2011

Άσκηση στις Κλίμακες



Μία άσκηση στις κλίμακες χαρτών. Μπορεί να δοθεί ως εργασία στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας στο μάθημα του αριθμητικού γραμματισμού στην ενότητα: "Ανάλογα Ποσά".




Τρίτη, 22 Μαρτίου 2011

Γρίφος - Λογική 1

Γρίφος.
Να ενώσετε τις 9 τελείες με 4 ευθύγραμμα τμήματα.

Παρασκευή, 18 Μαρτίου 2011

Στοιχεία Τριγώνου (Geogebra)

Στοιχεία Τριγώνου:
  1. Περίκεντρο, σημείο τομής μεσοκαθέτων
  2. Βαρύκεντρο, σημείο τομής διαμέσων
  3. Έκκεντρο, σημείο τομής διχοτόμων
  4. Ορθόκεντρο, σημείο τομής υψών

Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2011

Μέθοδος Κατασκευής Κανονικού Πενταγώνου

Μία μέθοδος κατασκευής του κανονικού πενταγώνου είναι η ακόλουθη όπως φαίνεται στο σχήμα. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί προκύπτει κανονικό πεντάγωνο; Δείτε και επεξεργαστείτε το σχήμα σε GeoGebra πατώντας εδώ. Απαιτεί java.


Παρασκευή, 11 Μαρτίου 2011

2η Ενότητα Σημειώσεων για το Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας


Η δεύτερη ενότητα σημειώσεων για το Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας περιέχει τα παρακάτω:

  • Εισαγωγή στα Κλάσματα
  • Ισοδύναμα Κλάσματα
  • Σύγκριση Κλασμάτων
  • Πράξεις με Κλάσματα
  • Ασκήσεις και Προβλήματα


Οι σημειώσεις συμπληρώνουν την διδασκαλία και δεν προτείνεται να μελετηθούν χωρίς την βοήθεια εκπαιδευτικού.

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates