Άσκηση στην Γεωμετρία (GeoGebra)

Άσκηση.
Έστω ABC ένα τυχαίο τρίγωνο και D ένα σημείο στην πλευρά AC. Οι κύκλοι που φαίνονται στο σχήμα είναι εγγεγραμένοι στα αντίστοιχα τρίγωνα. Να δείξετε ότι KL=HD.

Πατήστε εδώ για να επεξεργαστείτε το σχήμα με το πρόγραμμα GeoGebra.

gogeometry.com

Λύση.
Θυμίζουμε το παρακάτω θεώρημα σχετικά με τις εφαπτομένες ενός κύκλου από εξωτερικό του σημείο.

Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους.

Επομένως έχουμε: $BK=BP,\ BL=BM,\ BO=BN$ και $DK=HQ$. Επιπλέον,

$$ \begin{eqnarray*}
 \left.
\begin{array}{l}
 CP=CQ\\
 CO=CH  \end{array}\right\}\Rightarrow\ CO-CP=CH-CQ \Rightarrow\ OP=HQ
\end{eqnarray*}  $$
και
$$ \begin{eqnarray*}

 \left.
\begin{array}{l}
 AN=AH\\
 AM=AR  \end{array}\right\}\Rightarrow\ AN-AM=AH-AR \Rightarrow\ MN=RH.
\end{eqnarray*}  $$


Έχουμε:
$$\begin{eqnarray*}
KL &=& BK-BL\\
&=& BP-BM\\
&=& BO+OP-(BN+MN)\\
&=& BO+OP-BN-MN\\
&=& OP-MN\\
&=& HQ-RH\\
\Rightarrow\ RH&=&HQ-KL\ \ \ (1)
\end{eqnarray*}$$
Από το παραπάνω θεώρημα έχουμε $DR=DL$, επομένως

$\begin{eqnarray*}
DR&=&DL\\
\Rightarrow DH+RH &=& KL+DK\\
\Rightarrow DH+RH &=& KL+DQ\\
(από (1)) \Rightarrow DH+HQ-KL&=& KL+DQ\\
\Rightarrow DH+HQ-DQ &=& 2KL\\
\Rightarrow DH+DH&=& 2KL\\
\Rightarrow 2DH&=& 2KL\\
\Rightarrow DH&=&KL.
\end{eqnarray*}$

Tweet

Posted in: Α Λυκείου,Β Λυκείου,Εγγεγραμμένοι κύκλοι,Λύκειο,Τρίγωνο,Geogebra